用 Rust 实现多项式运算（从零开始构建你的数学工具库）

什么是多项式？

多项式是由变量（如 x）和系数通过加法、乘法以及非负整数次幂组成的代数表达式。例如：

3x² + 2x + 1

在这个例子中，系数分别是 [3, 2, 1]，对应 x 的 2 次、1 次和 0 次项。

设计思路

我们将用一个 Vec（整数向量）来表示多项式的系数，索引代表幂次。例如：

• [1, 2, 3] 表示 1 + 2x + 3x²
• [5, 0, 4] 表示 5 + 0x + 4x² = 5 + 4x²

注意：我们按升幂顺序存储（常数项在前），这是工程中的常见做法。

定义 Polynomial 结构体

首先，创建一个新的 Rust 项目：

cargo new polynomial_mathcd polynomial_math

然后，在 src/main.rs 中定义我们的结构体：

#[derive(Debug, Clone)]pub struct Polynomial {    coeffs: Vec,}impl Polynomial {    // 构造函数：传入系数向量    pub fn new(coeffs: Vec) -> Self {        // 移除高位的零（例如 [1, 2, 0, 0] → [1, 2]）        let mut c = coeffs;        while c.len() > 1 && *c.last().unwrap() == 0 {            c.pop();        }        Polynomial { coeffs: c }    }    // 获取次数（最高非零项的幂）    pub fn degree(&self) -> usize {        if self.coeffs.is_empty() || (self.coeffs.len() == 1 && self.coeffs[0] == 0) {            return 0;        }        self.coeffs.len() - 1    }}

实现多项式加法

两个多项式相加，只需将对应幂次的系数相加。我们为 Polynomial 实现 Add trait：

use std::ops::Add;impl Add for Polynomial {    type Output = Polynomial;    fn add(self, other: Polynomial) -> Polynomial {        let len = usize::max(self.coeffs.len(), other.coeffs.len());        let mut result = vec![0; len];        for i in 0..len {            let a = if i < self.coeffs.len() { self.coeffs[i] } else { 0 };            let b = if i < other.coeffs.len() { other.coeffs[i] } else { 0 };            result[i] = a + b;        }        Polynomial::new(result)    }}

实现多项式乘法

乘法稍微复杂一点：第 i 项和第 j 项相乘会贡献到第 (i+j) 项。我们手动实现 mul 方法（也可实现 Mul trait）：

impl Polynomial {    pub fn multiply(&self, other: &Polynomial) -> Polynomial {        if self.coeffs.is_empty() || other.coeffs.is_empty() {            return Polynomial::new(vec![0]);        }        let mut result = vec![0; self.coeffs.len() + other.coeffs.len() - 1];        for (i, &a) in self.coeffs.iter().enumerate() {            for (j, &b) in other.coeffs.iter().enumerate() {                result[i + j] += a * b;            }        }        Polynomial::new(result)    }}

完整测试示例

现在，让我们写一个 main 函数来测试我们的 Rust数学库：

fn main() {    // 定义 p1 = 2x + 1 （即 [1, 2]）    let p1 = Polynomial::new(vec![1, 2]);        // 定义 p2 = x² + 3 （即 [3, 0, 1]）    let p2 = Polynomial::new(vec![3, 0, 1]);    // 加法：p1 + p2 = (1+3) + 2x + x² = 4 + 2x + x²    let sum = p1.clone() + p2.clone();    println!("Sum: {:?}", sum.coeffs); // 输出 [4, 2, 1]    // 乘法：(2x + 1)(x² + 3) = 2x³ + x² + 6x + 3    let product = p1.multiply(&p2);    println!("Product: {:?}", product.coeffs); // 输出 [3, 6, 1, 2]}

进阶建议

这个基础实现已经涵盖了 多项式加法乘法的核心逻辑。你可以进一步：

• 支持泛型（如 f64、Complex）
• 实现求值（evaluate at x）
• 添加格式化输出（Display trait）
• 集成单元测试（使用 #[cfg(test)]）

结语

通过本 Rust编程教程，你已经掌握了如何用 Rust 构建一个实用的多项式运算模块。这不仅加深了你对代数结构的理解，也锻炼了系统编程能力。Rust 的内存安全和零成本抽象特性，使其成为开发高性能数学库的理想选择。

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