AI新里程碑：GPT-5 Pro自主证明凸优化定理

凸优化曲线的凸性探究

输入给GPT-5 Pro的论文题为《凸优化曲线是凸的吗？》，聚焦于凸优化中的核心问题：使用梯度下降算法优化光滑凸函数时，其优化曲线（即函数值随迭代次数的变化轨迹）是否保持凸性？凸性意味着优化速率（相邻迭代的函数值下降量）单调递减，这对算法收敛性分析至关重要。

当使用梯度下降算法优化光滑凸函数时，其产生的优化曲线（optimization curve）是否是凸的？

论文指出，优化曲线的凸性高度依赖于步长选择：当步长η ∈ (0, 1/L]时（L为函数的平滑度常数），曲线保证凸；当η ∈ (1.75/L, 2/L)时，曲线可能非凸，即使梯度下降仍单调收敛；而梯度范数序列在整个收敛区间η ∈ (0, 2/L]总是单调递减。此外，对于连续时间的梯度流（梯度下降的连续近似），优化曲线总是凸的，这揭示了离散与连续模型的差异。

证明中，作者通过引入辅助函数将离散迭代转化为连续积分，利用凸函数的性质系统论证凸性；对于非凸区间，则构造反例函数——结合二次函数和线性函数的分段设计，通过特定初始点的迭代计算展示下降量反转，从而验证非凸可能性。这些方法为后续研究提供了理论基础。

反例部分通过精心设计的分段函数，选取初始点x_0 = -1.8，直接计算前三步迭代的函数值下降量，证实后续下降量可能超过前序，违反凸性要求。这一构造凸显了步长选择对优化行为的影响。

GPT-5 Pro推动边界精确化

论文初版在步长区间(1/L, 1.75/L]上未给出定论。GPT-5 Pro在阅读后，仅用17.5分钟就通过精细的不等式技巧，将凸性保证边界从1/L提升到1.5/L——人类验证证明耗时25分钟，而模型自主推理时间更长，体现了其深入分析的能力。

GPT-5 Pro的核心创新在于巧妙融合Bregman散度不等式和共强制性不等式，通过代数操作细化凸性条件，得出更紧的下界。这种思路超越了传统方法，展示了AI在数学优化中的独特洞察力。

随后，论文作者更新版本，利用Bregman散度不等式对多点建立加权不等式，将边界闭合至1.75/L，反超了GPT-5 Pro。然而，GPT-5 Pro的证明路径与人类完全不同，这确认了其独立发现与论证数学规律的能力，标志着AI在自主科研方向上迈出关键一步，为未来人机协作探索复杂问题开辟新途径。

参考链接：

[1]https://x.com/SebastienBubeck/status/1958198661139009862

[2]https://arxiv.org/abs/2503.10138v1

[3]https://arxiv.org/abs/2503.10138v2