双连通分量详解（C++实现图论中的割点与桥检测）

为什么需要找双连通分量？

在实际应用中，比如通信网络、电力系统或社交网络，我们希望知道哪些节点或链路一旦失效会导致整个系统分裂。这些关键点就是割点，关键边就是桥。通过识别双连通分量，我们可以：

• 增强网络鲁棒性
• 设计冗余路径
• 优化故障恢复策略

算法原理：Tarjan 算法

我们使用经典的 Tarjan 算法 来找出图中的割点和双连通分量。该算法基于深度优先搜索（DFS），并利用两个关键数组：

• dfn[u]：节点 u 被访问的时间戳（DFS 序号）
• low[u]：从 u 出发，通过最多一条回边能到达的最早祖先的 dfn 值

判断割点的规则：

1. 若 u 是 DFS 树的根，且有 ≥2 个子树，则 u 是割点。
2. 若 u 不是根，且存在子节点 v 满足 low[v] >= dfn[u]，则 u 是割点。

判断桥的规则：

• 对于边 (u, v)，若 low[v] > dfn[u]，则 (u, v) 是桥。

C++ 实现代码

下面是一个完整的 C++ 程序，用于找出图中的所有双连通分量（以边为单位）以及割点：

#include <iostream>#include <vector>#include <stack>#include <algorithm>using namespace std;const int MAXN = 100005;vector<int> graph[MAXN];int dfn[MAXN], low[MAXN], timestamp = 0;bool isCut[MAXN];stack<pair<int, int>> stk;vector<vector<pair<int, int>>> bccList; // 存储每个双连通分量的边void tarjan(int u, int parent) {    dfn[u] = low[u] = ++timestamp;    int children = 0;    for (int v : graph[u]) {        if (v == parent) continue;        if (!dfn[v]) {            stk.push({u, v});            children++;            tarjan(v, u);            low[u] = min(low[u], low[v]);            // 判断割点            if ((parent == -1 && children >= 2) || (parent != -1 && low[v] >= dfn[u])) {                isCut[u] = true;                // 提取一个双连通分量                vector<pair<int, int>> comp;                while (true) {                    pair<int, int> edge = stk.top();                    stk.pop();                    comp.push_back(edge);                    if (edge.first == u && edge.second == v) break;                }                bccList.push_back(comp);            }        } else if (dfn[v] < dfn[u]) { // 回边            stk.push({u, v});            low[u] = min(low[u], dfn[v]);        }    }}int main() {    int n, m;    cin >> n >> m; // 顶点数和边数    for (int i = 0; i < m; i++) {        int u, v;        cin >> u >> v;        graph[u].push_back(v);        graph[v].push_back(u);    }    for (int i = 1; i <= n; i++) {        if (!dfn[i]) {            tarjan(i, -1);            // 处理根节点剩余的边            if (!stk.empty()) {                vector<pair<int, int>> comp;                while (!stk.empty()) {                    comp.push_back(stk.top());                    stk.pop();                }                bccList.push_back(comp);            }        }    }    // 输出割点    cout << "割点: ";    for (int i = 1; i <= n; i++) {        if (isCut[i]) cout << i << " ";    }    cout << endl;    // 输出双连通分量    cout << "双连通分量数量: " << bccList.size() << endl;    for (int i = 0; i < bccList.size(); i++) {        cout << "分量 " << i + 1 << ": ";        for (auto &e : bccList[i]) {            cout << "(" << e.first << "," << e.second << ") ";        }        cout << endl;    }    return 0;}

使用说明

输入格式：

• 第一行：n（顶点数）和 m（边数）
• 接下来 m 行：每行两个整数 u v，表示一条无向边

程序会输出所有割点和各个双连通分量包含的边。

总结

通过本教程，你已经掌握了 双连通分量 的基本概念、应用场景以及如何用 C++算法 实现 Tarjan 方法来求解。理解割点与桥是深入学习图论基础的关键一步，也是解决许多实际工程问题的有力工具。

建议你在本地编译运行上述代码，并尝试不同图结构（如环、树、网格等），观察输出结果，加深理解。

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