深入理解C语言网络流算法（从零开始掌握最大流问题与Ford-Fulkerson实现）

Ford-Fulkerson 算法原理

Ford-Fulkerson 方法是一种贪心策略：不断在残量网络中寻找从源点到汇点的增广路径（即还能增加流量的路径），然后沿该路径推送尽可能多的流量，直到找不到新的增广路径为止。

关键在于“残量网络”——它记录了每条边还能增加多少流量，以及反向边（用于“撤销”之前错误的流量分配）。

Edmonds-Karp 实现（BFS版本）

原始的 Ford-Fulkerson 使用 DFS 寻找增广路径，可能导致效率低下甚至无限循环（当容量为实数时）。Edmonds-Karp 改用 BFS（广度优先搜索）来寻找最短的增广路径，保证了算法在 O(V·E²) 时间内结束，其中 V 是顶点数，E 是边数。

C语言实现步骤

1. 构建邻接矩阵或邻接表表示图（含容量）
2. 初始化残量图（初始等于原图）
3. 使用 BFS 查找增广路径
4. 更新残量图中的正向边和反向边
5. 重复直到无增广路径

完整C语言代码示例

#include <stdio.h>#include <stdbool.h>#include <limits.h>#define MAX_V 100  // 最大顶点数int graph[MAX_V][MAX_V];   // 容量图int residual[MAX_V][MAX_V]; // 残量图int parent[MAX_V];         // BFS 路径记录int V;                     // 顶点数量// BFS 查找增广路径bool bfs(int source, int sink) {    bool visited[MAX_V] = {false};    int queue[MAX_V], front = 0, rear = 0;        queue[rear++] = source;    visited[source] = true;    parent[source] = -1;        while (front < rear) {        int u = queue[front++];        for (int v = 0; v < V; v++) {            if (!visited[v] && residual[u][v] > 0) {                queue[rear++] = v;                parent[v] = u;                visited[v] = true;                if (v == sink) return true;            }        }    }    return false;}// Edmonds-Karp 算法主函数int edmondsKarp(int source, int sink) {    // 初始化残量图为原图    for (int i = 0; i < V; i++)        for (int j = 0; j < V; j++)            residual[i][j] = graph[i][j];        int max_flow = 0;        // 不断寻找增广路径    while (bfs(source, sink)) {        int path_flow = INT_MAX;                // 找出路径上的最小残量        for (int v = sink; v != source; v = parent[v]) {            int u = parent[v];            path_flow = (residual[u][v] < path_flow) ? residual[u][v] : path_flow;        }                // 更新残量图        for (int v = sink; v != source; v = parent[v]) {            int u = parent[v];            residual[u][v] -= path_flow;            residual[v][u] += path_flow; // 反向边        }                max_flow += path_flow;    }        return max_flow;}// 示例使用int main() {    V = 6; // 6个顶点        // 初始化图（邻接矩阵）    for (int i = 0; i < V; i++)        for (int j = 0; j < V; j++)            graph[i][j] = 0;        // 添加边（容量）    graph[0][1] = 16; graph[0][2] = 13;    graph[1][2] = 10; graph[1][3] = 12;    graph[2][1] = 4;  graph[2][4] = 14;    graph[3][2] = 9;  graph[3][5] = 20;    graph[4][3] = 7;  graph[4][5] = 4;        int source = 0, sink = 5;    printf("最大流为: %d\n", edmondsKarp(source, sink));        return 0;}

总结

通过本教程，你已经掌握了使用 C语言实现网络流算法 的基本方法。Ford-Fulkerson 算法虽然概念简单，但 Edmonds-Karp 的 BFS 实现才是工程实践中更可靠的选择。理解最大流问题不仅有助于解决实际优化问题，也为学习更高级的图论算法（如最小割、二分图匹配）打下坚实基础。

记住：网络流的核心在于“残量”和“反向边”——它们让算法具备了“后悔”的能力，从而找到全局最优解。

关键词回顾：C语言网络流算法、最大流问题、Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp实现。