C语言对称矩阵压缩存储详解（小白也能学会的对称矩阵压缩算法）

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可以看到，这个矩阵关于主对角线（从左上到右下）完全对称。因此，我们只需存储主对角线及其下方（或上方）的元素即可。

为什么要进行压缩存储？

假设我们有一个 1000×1000 的对称矩阵，如果使用普通二维数组存储，需要 1,000,000 个整数空间。但利用对称矩阵压缩算法，我们只需要存储约 500,500 个元素（计算公式为 n(n+1)/2），节省了近一半内存！这对于嵌入式系统、大规模科学计算等内存敏感场景尤为重要。

压缩存储的核心思想

我们将对称矩阵的下三角部分（包括主对角线）按行优先顺序存入一维数组。例如上面的 4×4 矩阵，压缩后的一维数组为：

[1, 2, 5, 3, 6, 8, 4, 7, 9, 10]  

对应关系如下：

• 第0行：1 → index 0
• 第1行：2, 5 → index 1, 2
• 第2行：3, 6, 8 → index 3, 4, 5
• 第3行：4, 7, 9, 10 → index 6, 7, 8, 9

如何计算一维数组中的索引？

给定矩阵中位置 (i, j)（i ≥ j，即下三角部分），它在一维数组中的索引为：

index = i * (i + 1) / 2 + j  

如果 i < j（即上三角部分），由于对称性，我们可以交换 i 和 j，即访问 (j, i) 的值。

完整C语言实现代码

下面是一个完整的C语言程序，演示如何实现C语言二维数组优化的对称矩阵压缩存储：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>// 创建压缩存储的对称矩阵typedef struct {    int *data;      // 一维数组存储下三角    int size;       // 矩阵阶数 n} SymmetricMatrix;// 初始化对称矩阵SymmetricMatrix* createSymmetricMatrix(int n) {    SymmetricMatrix *sm = (SymmetricMatrix*)malloc(sizeof(SymmetricMatrix));    sm->size = n;    // 分配 n(n+1)/2 个元素的空间    sm->data = (int*)malloc(n * (n + 1) / 2 * sizeof(int));    return sm;}// 设置矩阵元素（自动处理对称）void setElement(SymmetricMatrix *sm, int i, int j, int value) {    if (i < 0 || i >= sm->size || j < 0 || j >= sm->size) {        printf("索引越界！\n");        return;    }    // 确保存储在下三角区域    if (i < j) {        int temp = i;        i = j;        j = temp;    }    // 计算一维索引    int index = i * (i + 1) / 2 + j;    sm->data[index] = value;}// 获取矩阵元素int getElement(SymmetricMatrix *sm, int i, int j) {    if (i < 0 || i >= sm->size || j < 0 || j >= sm->size) {        printf("索引越界！\n");        return -1;    }    // 利用对称性，总是访问下三角    if (i < j) {        int temp = i;        i = j;        j = temp;    }    int index = i * (i + 1) / 2 + j;    return sm->data[index];}// 打印原始矩阵（用于验证）void printMatrix(SymmetricMatrix *sm) {    for (int i = 0; i < sm->size; i++) {        for (int j = 0; j < sm->size; j++) {            printf("%3d ", getElement(sm, i, j));        }        printf("\n");    }}// 释放内存void freeSymmetricMatrix(SymmetricMatrix *sm) {    free(sm->data);    free(sm);}// 主函数测试int main() {    int n = 4;    SymmetricMatrix *sm = createSymmetricMatrix(n);    // 填充下三角（包括对角线）    setElement(sm, 0, 0, 1);    setElement(sm, 1, 0, 2); setElement(sm, 1, 1, 5);    setElement(sm, 2, 0, 3); setElement(sm, 2, 1, 6); setElement(sm, 2, 2, 8);    setElement(sm, 3, 0, 4); setElement(sm, 3, 1, 7); setElement(sm, 3, 2, 9); setElement(sm, 3, 3, 10);    printf("压缩存储后的对称矩阵：\n");    printMatrix(sm);    // 测试访问上三角元素    printf("\n访问 (0,3) 元素（上三角）: %d\n", getElement(sm, 0, 3));    freeSymmetricMatrix(sm);    return 0;}  

运行结果

程序输出如下，验证了我们的压缩存储和访问逻辑是正确的：

压缩存储后的对称矩阵：  1   2   3   4   2   5   6   7   3   6   8   9   4   7   9  10 访问 (0,3) 元素（上三角）: 4  

总结

通过本教程，你已经掌握了数据结构对称矩阵的压缩存储方法。这种方法不仅节省内存，而且在实际工程中广泛应用，如有限元分析、图论邻接矩阵等场景。记住关键公式：index = i*(i+1)/2 + j（当 i ≥ j 时），并始终利用对称性来简化访问逻辑。

希望这篇教程能帮助你理解 C 语言中对称矩阵的高效存储方式。动手试试吧，你会发现C语言对称矩阵压缩存储其实并不难！