动态规划的状态转移优化（C#程序员必学的算法提速秘籍）

优化技巧一：滚动数组（空间优化）

很多 DP 问题中，当前状态只依赖于前几个状态。这时我们不需要保存整个数组，只需保留必要的历史值即可。

以“斐波那契数列”为例：

未优化版本（O(n) 空间）：

public static int Fib(int n){    if (n <= 1) return n;    int[] dp = new int[n + 1];    dp[0] = 0;    dp[1] = 1;    for (int i = 2; i <= n; i++)    {        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];    }    return dp[n];}

滚动数组优化后（O(1) 空间）：

public static int FibOptimized(int n){    if (n <= 1) return n;    int prev2 = 0; // dp[i-2]    int prev1 = 1; // dp[i-1]    int current = 0;    for (int i = 2; i <= n; i++)    {        current = prev1 + prev2;        prev2 = prev1;        prev1 = current;    }    return current;}

通过只保留前两个值，我们将空间复杂度从 O(n) 降到了 O(1)，这就是滚动数组的威力！

优化技巧二：状态压缩（位运算优化）

在某些 DP 问题中，状态可以用二进制位表示。例如“子集 DP”或“旅行商问题”（TSP），我们可以用一个整数的每一位表示某个元素是否被选中。

假设我们有 4 个城市，状态 0101（二进制）表示已访问城市 0 和 2（从右往左数，0-indexed）。这样，原本需要二维甚至三维数组的状态，现在可以用一维数组 + 位掩码（bitmask）表示。

C# 中的状态压缩示例（简化版）：

// 假设有 n 个物品，每个物品可选或不选// dp[mask] 表示在选择状态为 mask 时的最大价值public static int MaxValueWithBitmask(int n, int[] values){    int totalStates = 1 << n; // 2^n 种状态    int[] dp = new int[totalStates];    for (int mask = 0; mask < totalStates; mask++)    {        for (int i = 0; i < n; i++)        {            if ((mask & (1 << i)) != 0) // 如果第 i 位为 1            {                int prevMask = mask ^ (1 << i); // 去掉第 i 位                dp[mask] = Math.Max(dp[mask], dp[prevMask] + values[i]);            }        }    }    return dp[totalStates - 1];}

这种状态压缩 DP技巧大幅减少了内存使用，并且在处理组合问题时非常高效。

总结与建议

通过本文，你已经了解了两种实用的动态规划状态转移优化方法：

1. 滚动数组：适用于状态只依赖前几个值的问题，节省空间。
2. 状态压缩：适用于状态可二进制编码的问题，减少维度。

对于 C# 开发者来说，掌握这些算法优化技巧不仅能提升程序性能，还能在面试和竞赛中脱颖而出。建议多练习 LeetCode 上的 DP 题目，如“打家劫舍”、“背包问题”、“最长递增子序列”等，尝试用优化方法重写。

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