C语言平面图算法详解（从零开始掌握平面图检测与实现）

判断平面图的基本原理

对于简单无向图，我们可以使用欧拉公式进行初步判断：

V - E + F = 2

其中 V 是顶点数，E 是边数，F 是面数。由此可推导出：若图是连通的且为平面图，则必须满足 E ≤ 3V - 6（当 V ≥ 3 时）。

虽然这个条件只是必要条件而非充分条件（即满足它不一定是平面图，但不满足一定不是），但它能快速排除大量非平面图，是我们实现的第一步。

用C语言实现简易平面图检测

下面我们将编写一个C程序，首先通过欧拉不等式快速判断，再结合深度优先搜索（DFS）检查是否存在K₅或K₃,₃子图（这是库拉托夫斯基定理的核心思想）。不过完整实现较复杂，我们先实现基础版本。

// planar_check.c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_V 100int graph[MAX_V][MAX_V];int V, E;int is_planar_simple() {    // 欧拉不等式：E <= 3V - 6 （V >= 3）    if (V < 3) {        return 1; // 少于3个顶点必为平面图    }    if (E > 3 * V - 6) {        return 0; // 不满足欧拉不等式，一定不是平面图    }    // 注意：这里仅做初步判断，更精确需实现库拉托夫斯基算法    return 1;}int main() {    printf("请输入顶点数 V 和边数 E: ");    scanf("%d %d", &V, &E);    if (V <= 0 || E < 0 || V > MAX_V) {        printf("输入无效！\n");        return 1;    }    printf("请依次输入 %d 条边（格式：u v，顶点编号从0开始）:\n", E);    for (int i = 0; i < E; i++) {        int u, v;        scanf("%d %d", &u, &v);        graph[u][v] = graph[v][u] = 1;    }    if (is_planar_simple()) {        printf("该图可能是平面图（基于欧拉不等式初步判断）。\n");    } else {        printf("该图一定不是平面图！\n");    }    return 0;}

代码说明

• 输入处理：程序读取顶点数 V 和边数 E，然后读入每条边。
• 欧拉不等式判断：函数 is_planar_simple() 根据公式 E ≤ 3V - 6 进行快速判断。
• 局限性说明：此方法不能100%确认平面图（例如某些满足不等式的图仍可能非平面），但能高效排除明显非平面的情况。

进阶方向

要实现完整的C语言平面图算法，你需要学习：

• 库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）：图是平面图当且仅当它不包含K₅或K₃,₃的细分图。
• 深度优先搜索（DFS）与子图同构检测。
• 更高效的平面图嵌入算法，如Hopcroft-Tarjan算法（线性时间）。

总结

通过本教程，你已经掌握了使用C语言进行平面图初步检测的方法。虽然完整实现较为复杂，但理解基本原理是迈向高级图论算法的第一步。希望这篇面向小白的教程能帮助你入门平面图检测，并激发你对C语言图论算法的兴趣！

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