欧拉路径算法详解（Python实现图论中的欧拉路径与欧拉回路）

判断欧拉路径存在的条件

对于无向图：

• 存在欧拉回路 ⇨ 所有顶点的度数都是偶数，且图是连通的。
• 存在欧拉路径（但不是回路） ⇨ 恰好有两个顶点的度数是奇数（起点和终点），其余为偶数，且图连通。

对于有向图（本文以无向图为主，但会简要提及）：

• 欧拉回路 ⇨ 每个顶点的入度 = 出度，且图强连通。
• 欧拉路径 ⇨ 除两个顶点外（一个出度比入度多1作为起点，一个入度比出度多1作为终点），其余顶点入度=出度，且图弱连通。

使用 Hierholzer 算法求解欧拉回路

Hierholzer 算法是一种高效求解欧拉回路的方法，时间复杂度为 O(E)，其中 E 是边的数量。它的核心思想是：从任意顶点出发，深度遍历直到无法继续，然后回溯并拼接环路。

Python 代码实现

from collections import defaultdict, dequedef find_eulerian_path(graph):    """    输入：graph 是邻接表形式的无向图，例如 {0: [1, 2], 1: [0, 2], 2: [0, 1]}    输出：欧拉路径（列表），若不存在则返回 None    """    # 1. 统计每个顶点的度数    degree = defaultdict(int)    for u in graph:        degree[u] = len(graph[u])        # 2. 判断奇度顶点数量    odd_vertices = [v for v in degree if degree[v] % 2 == 1]        if len(odd_vertices) > 2:        return None  # 不可能存在欧拉路径        # 3. 确定起始点    start = odd_vertices[0] if odd_vertices else next(iter(graph))        # 4. 使用栈进行 Hierholzer 算法    stack = [start]    path = []        # 深拷贝图（避免修改原图）    local_graph = defaultdict(list)    for u in graph:        local_graph[u] = list(graph[u])        while stack:        current = stack[-1]        if local_graph[current]:            next_node = local_graph[current].pop()            # 无向图需双向删除            local_graph[next_node].remove(current)            stack.append(next_node)        else:            path.append(stack.pop())        # 检查是否走完了所有边    total_edges = sum(len(v) for v in graph.values()) // 2    if len(path) - 1 != total_edges:        return None  # 图不连通        return path[::-1]  # 反转得到正确顺序# 示例：测试一个存在欧拉回路的图graph_example = {    0: [1, 2],    1: [0, 2, 3, 4],    2: [0, 1, 3, 4],    3: [1, 2],    4: [1, 2]}result = find_eulerian_path(graph_example)print("欧拉路径:", result)

这段代码实现了完整的欧拉路径算法，包括度数检查、连通性验证和路径构建。即使你刚学 Python，也能通过注释理解每一步的作用。

常见问题与注意事项

• 图必须是连通的：如果不连通，即使度数满足条件，也无法形成欧拉路径。
• 无向图 vs 有向图：本文代码针对无向图；若处理有向图，需调整边的删除逻辑和度数判断方式。
• 效率优化：使用栈而非递归可避免深度过大导致的栈溢出。

总结

通过本教程，你已经掌握了：欧拉路径算法的基本原理、存在条件以及如何用 Python 实现欧拉路径。这是图论中的基础但非常实用的技能，广泛应用于电路设计、DNA测序、网络路由等领域。

建议你动手运行上面的代码，并尝试修改图结构来观察不同输出。实践是掌握 图论算法教程的最佳方式！

如果你对寻找欧拉回路还有疑问，欢迎在评论区留言交流！