Simpson积分法详解（用C++实现高效数值积分）

Simpson公式的数学表达

对于区间 \([a, b]\)，Simpson积分公式为：

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (b - a)/6 × [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]

这个公式被称为单段Simpson公式。为了提高精度，我们可以将区间 \([a, b]\) 分成多个子区间（通常是偶数个），然后在每个子区间上应用该公式——这就是复合Simpson积分。

用C++实现Simpson积分

下面是一个简单的C++程序，使用复合Simpson法计算函数 \(f(x) = x^2\) 在区间 \([0, 1]\) 上的积分。

#include <iostream>#include <cmath>// 定义被积函数double f(double x) {    return x * x;  // 示例：f(x) = x²}// 复合Simpson积分函数double simpson(double a, double b, int n) {    if (n % 2 != 0) {        std::cout << "警告：n 应为偶数，已自动加1" << std::endl;        n++;  // Simpson要求n为偶数    }        double h = (b - a) / n;  // 子区间宽度    double sum = f(a) + f(b);  // 首尾项        for (int i = 1; i < n; i++) {        double x = a + i * h;        if (i % 2 == 0) {            sum += 2 * f(x);  // 偶数点系数为2        } else {            sum += 4 * f(x);  // 奇数点系数为4        }    }        return sum * h / 3.0;}int main() {    double a = 0.0, b = 1.0;    int n = 100;  // 子区间数量（必须为偶数）        double result = simpson(a, b, n);    std::cout << "积分结果: " << result << std::endl;    // 理论值为 1/3 ≈ 0.333333...        return 0;}  

运行上述代码，输出结果接近 0.333333，与理论值 \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}\) 非常吻合。

进阶：自适应Simpson积分

在实际应用中，我们可能不知道需要多少个子区间才能达到所需精度。这时可以使用自适应Simpson算法——它会自动递归细分区间，直到满足误差容限。

自适应Simpson是数值分析C++中的经典技巧，特别适合处理有尖峰或震荡的函数。

总结

Simpson积分法是一种强大而实用的C++数值积分工具。通过本文，你已经掌握了：

• Simpson法的基本原理
• 如何用C++实现复合Simpson积分
• 自适应思想的引入方向

无论你是学习数值分析C++的学生，还是需要解决工程问题的开发者，Simpson积分都是你工具箱中不可或缺的一把利器。动手试试吧！

关键词回顾：Simpson积分、C++数值积分、自适应Simpson算法、数值分析C++