构建高效网络的利器（C#实现Kruskal最小生成树算法及优化详解）

为什么需要优化？

原始Kruskal算法的时间复杂度主要由两部分组成：排序（O(E log E)）和判断是否成环（O(V) 每次）。若使用普通方法判断环，整体效率会很低。这时，并查集（Union-Find）数据结构就派上用场了！它能将“查找”和“合并”操作优化到接近常数时间，大幅提升性能。

C#实现步骤详解

我们将分三步实现优化版Kruskal算法：

1. 定义边的数据结构
2. 实现高效的并查集
3. 主算法逻辑：排序 + 并查集判断

1. 定义边类

public class Edge{    public int U { get; set; }    public int V { get; set; }    public int Weight { get; set; }    public Edge(int u, int v, int weight)    {        U = u;        V = v;        Weight = weight;    }}

2. 实现并查集（带路径压缩与按秩合并）

这是并查集优化的核心！我们使用两个技巧：路径压缩（Path Compression）和按秩合并（Union by Rank），使操作接近 O(α(n))，其中 α 是反阿克曼函数，几乎为常数。

public class UnionFind{    private int[] parent;    private int[] rank;    public UnionFind(int n)    {        parent = new int[n];        rank = new int[n];        for (int i = 0; i < n; i++)            parent[i] = i; // 初始时每个节点是自己的父节点    }    public int Find(int x)    {        if (parent[x] != x)            parent[x] = Find(parent[x]); // 路径压缩        return parent[x];    }    public bool Union(int x, int y)    {        int rootX = Find(x);        int rootY = Find(y);        if (rootX == rootY) // 已在同一集合，会成环            return false;        // 按秩合并        if (rank[rootX] < rank[rootY])            parent[rootX] = rootY;        else if (rank[rootX] > rank[rootY])            parent[rootY] = rootX;        else        {            parent[rootY] = rootX;            rank[rootX]++;        }        return true;    }}

3. 主算法：Kruskal实现

public static List<Edge> KruskalMST(List<Edge> edges, int vertexCount){    // 按权重升序排序    edges.Sort((a, b) => a.Weight.CompareTo(b.Weight));    var uf = new UnionFind(vertexCount);    var mst = new List<Edge>();    foreach (var edge in edges)    {        if (uf.Union(edge.U, edge.V))        {            mst.Add(edge);            if (mst.Count == vertexCount - 1) // MST有V-1条边                break;        }    }    return mst;}

完整示例与测试

假设我们有一个包含5个顶点的图，边如下：

• (0, 1, 10)
• (0, 2, 6)
• (0, 3, 5)
• (1, 3, 15)
• (2, 3, 4)
• (2, 4, 8)

调用 KruskalMST 后，将返回最小生成树的边集合，总权重为 19。

总结

通过引入并查集优化，我们显著提升了Kruskal算法的效率。这种实现方式不仅适用于学习，也适合实际工程中的C#图论算法开发。掌握最小生成树和Kruskal算法，将为你解决网络布线、电路设计等问题提供强大工具。

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