掌握Rust中的平面图算法（从零开始实现图的平面性检测）

为什么用 Rust 实现图算法？

Rust 是一门内存安全、高性能的系统编程语言，其所有权模型能有效防止空指针和数据竞争。对于需要高效处理图结构的Rust图论编程任务，Rust 提供了极佳的性能和安全性保障。

基础准备：定义图结构

我们先用邻接表表示无向图。在 Rust 中，可以用 Vec<Vec<usize>> 来表示：

#[derive(Debug, Clone)]pub struct Graph {    pub vertices: usize,    pub edges: Vec<Vec<usize>>,}impl Graph {    pub fn new(n: usize) -> Self {        Graph {            vertices: n,            edges: vec![Vec::new(); n],        }    }    pub fn add_edge(&mut self, u: usize, v: usize) {        self.edges[u].push(v);        self.edges[v].push(u); // 无向图    }}

平面图判定：欧拉公式初探

对于连通的简单平面图，欧拉公式成立：
V - E + F = 2
其中 V 是顶点数，E 是边数，F 是面数。

由此可推导出一个重要不等式：若图是简单平面图且 V ≥ 3，则 E ≤ 3V - 6。我们可以先用这个条件做快速排除：

impl Graph {    // 快速判断是否可能为平面图（必要条件，非充分）    pub fn may_be_planar(&self) -> bool {        let v = self.vertices;        if v < 3 {            return true; // 少于3个顶点必为平面图        }        let e: usize = self.edges.iter().map(|adj| adj.len()).sum() / 2;        e <= 3 * v - 6    }}

注意：这只是必要条件！比如 K₃,₃ 满足 E=9 ≤ 3×6−6=12，但它不是平面图。因此我们需要更强大的算法。

进阶：使用 Kuratowski 定理

Kuratowski 定理指出：一个图是平面图，当且仅当它不包含 K₅ 或 K₃,₃ 的细分（subdivision）。但在实际编程中，直接检测细分非常复杂。

工业级方案通常采用 Hopcroft-Tarjan 平面性测试算法，时间复杂度为 O(V)。不过对初学者而言，我们可以借助现有库来简化开发。

使用 petgraph 库进行平面图检测

Rust 生态中有优秀的图处理库 petgraph。虽然它本身不直接提供平面性检测，但我们可以结合其他逻辑实现简易判断。

首先，在 Cargo.toml 中添加依赖：

[dependencies]petgraph = "0.6"

然后编写一个基于边数限制的实用函数（适用于教学和小规模图）：

use petgraph::Graph as PgGraph;use petgraph::Undirected;fn is_likely_planar(g: &PgGraph<i32, (), Undirected>) -> bool {    let v = g.node_count();    if v < 3 {        return true;    }    let e = g.edge_count();    e <= 3 * v - 6}// 示例：构建一个三角形（平面图）fn main() {    let mut g = PgGraph::<_, (), Undirected>::new_undirected();    let a = g.add_node(1);    let b = g.add_node(2);    let c = g.add_node(3);    g.add_edge(a, b, ());    g.add_edge(b, c, ());    g.add_edge(c, a, ());    println!("Is planar? {}", is_likely_planar(&g)); // 输出 true}

总结与学习建议

通过本教程，你已经了解了平面图检测的基本概念，并学会了如何在 Rust 中定义图结构、使用欧拉公式进行初步判断。虽然完整的平面性算法（如 Hopcroft-Tarjan）较为复杂，但掌握这些基础知识是迈向高级Rust算法教程的重要一步。

建议下一步：

• 深入学习图的深度优先搜索（DFS）和双连通分量
• 研究开源 Rust 平面图库（如 planarity crate）
• 尝试可视化你的图（使用 plotters 或 WebAssembly）

记住：算法学习贵在动手实践。现在就打开你的编辑器，写一个属于自己的Rust平面图算法吧！