C#分治算法实现高效矩阵乘法（从基础到Strassen优化详解）

例如：

A = [A11 A12]    B = [B11 B12]    [A21 A22]        [B21 B22]则 C = A × B = [A11×B11 + A12×B21   A11×B12 + A12×B22]               [A21×B11 + A22×B21   A21×B12 + A22×B22]

这种朴素分治方法仍需 8 次子矩阵乘法，时间复杂度仍是 O(n³)，但为后续优化打下基础。

C# 实现：朴素分治矩阵乘法

下面是一个完整的 C# 示例，展示如何用分治法实现矩阵乘法：

using System;public class MatrixMultiply{    // 基础矩阵乘法（用于小矩阵或递归终止条件）    public static int[,] SimpleMultiply(int[,] A, int[,] B)    {        int n = A.GetLength(0);        int[,] C = new int[n, n];        for (int i = 0; i < n; i++)        {            for (int j = 0; j < n; j++)            {                for (int k = 0; k < n; k++)                {                    C[i, j] += A[i, k] * B[k, j];                }            }        }        return C;    }    // 分治矩阵乘法    public static int[,] DivideAndConquerMultiply(int[,] A, int[,] B)    {        int n = A.GetLength(0);        if (n <= 64) // 小矩阵直接使用简单乘法（阈值可调）            return SimpleMultiply(A, B);        int half = n / 2;        // 划分子矩阵（这里简化处理，实际可封装为函数）        int[,] A11 = GetSubMatrix(A, 0, 0, half);        int[,] A12 = GetSubMatrix(A, 0, half, half);        int[,] A21 = GetSubMatrix(A, half, 0, half);        int[,] A22 = GetSubMatrix(A, half, half, half);        int[,] B11 = GetSubMatrix(B, 0, 0, half);        int[,] B12 = GetSubMatrix(B, 0, half, half);        int[,] B21 = GetSubMatrix(B, half, 0, half);        int[,] B22 = GetSubMatrix(B, half, half, half);        // 递归计算8个子乘积        int[,] P1 = DivideAndConquerMultiply(A11, B11);        int[,] P2 = DivideAndConquerMultiply(A12, B21);        int[,] P3 = DivideAndConquerMultiply(A11, B12);        int[,] P4 = DivideAndConquerMultiply(A12, B22);        int[,] P5 = DivideAndConquerMultiply(A21, B11);        int[,] P6 = DivideAndConquerMultiply(A22, B21);        int[,] P7 = DivideAndConquerMultiply(A21, B12);        int[,] P8 = DivideAndConquerMultiply(A22, B22);        // 合并结果        int[,] C11 = AddMatrices(P1, P2);        int[,] C12 = AddMatrices(P3, P4);        int[,] C21 = AddMatrices(P5, P6);        int[,] C22 = AddMatrices(P7, P8);        return CombineMatrices(C11, C12, C21, C22);    }    // 辅助方法：提取子矩阵    private static int[,] GetSubMatrix(int[,] matrix, int rowStart, int colStart, int size)    {        int[,] sub = new int[size, size];        for (int i = 0; i < size; i++)            for (int j = 0; j < size; j++)                sub[i, j] = matrix[rowStart + i, colStart + j];        return sub;    }    // 辅助方法：矩阵加法    private static int[,] AddMatrices(int[,] A, int[,] B)    {        int n = A.GetLength(0);        int[,] C = new int[n, n];        for (int i = 0; i < n; i++)            for (int j = 0; j < n; j++)                C[i, j] = A[i, j] + B[i, j];        return C;    }    // 辅助方法：合并四个子矩阵为一个大矩阵    private static int[,] CombineMatrices(int[,] C11, int[,] C12, int[,] C21, int[,] C22)    {        int n = C11.GetLength(0);        int[,] C = new int[2 * n, 2 * n];        for (int i = 0; i < n; i++)        {            for (int j = 0; j < n; j++)            {                C[i, j] = C11[i, j];                C[i, j + n] = C12[i, j];                C[i + n, j] = C21[i, j];                C[i + n, j + n] = C22[i, j];            }        }        return C;    }}

进阶优化：Strassen 算法（C# 实现）

德国数学家 Volker Strassen 在 1969 年提出了一种仅需 7 次递归乘法的算法，将时间复杂度降低至约 O(n^2.81)。这是对C#优化矩阵运算的重要突破！

Strassen 的核心思想是通过巧妙组合子矩阵，减少一次乘法（以增加加减法为代价）。7 个乘积项如下：

M1 = (A11 + A22) × (B11 + B22)M2 = (A21 + A22) × B11M3 = A11 × (B12 - B22)M4 = A22 × (B21 - B11)M5 = (A11 + A12) × B22M6 = (A21 - A11) × (B11 + B12)M7 = (A12 - A22) × (B21 + B22)然后：C11 = M1 + M4 - M5 + M7C12 = M3 + M5C21 = M2 + M4C22 = M1 - M2 + M3 + M6

在 C# 中，只需将上述公式替换掉朴素分治中的 8 次乘法即可。虽然代码略长，但性能提升显著，尤其在大规模矩阵时。

何时使用分治矩阵乘法？

• 当矩阵非常大（如 n > 1000）时，Strassen 算法优势明显。
• 对于小矩阵，传统 O(n³) 方法更快（因递归开销）。
• 实际项目中常结合“混合策略”：大矩阵用 Strassen，小矩阵回退到简单乘法。

总结

本文详细讲解了如何在 C# 中使用分治算法实现矩阵乘法，并介绍了著名的Strassen算法以提升性能。通过合理设置递归阈值，你可以在实际项目中平衡效率与复杂度。掌握这些技巧，不仅能加深对矩阵乘法的理解，还能为高性能计算打下坚实基础。

希望这篇教程能帮助你轻松入门分治优化！动手试试吧～