Python矩阵快速幂详解（从零开始掌握快速幂优化技巧）

什么是快速幂？

快速幂（Fast Exponentiation）是一种用于快速计算 aⁿ 的算法。例如，计算 2¹⁰，传统方法需要 9 次乘法，而快速幂只需约 log₂(10) ≈ 4 次。

其核心思想是：利用二进制分解指数。例如：

210 = 28 × 22  （因为 10 的二进制是 1010）

为什么需要矩阵快速幂？

有些问题无法直接用数字快速幂解决，比如斐波那契数列的第 n 项。我们知道斐波那契满足递推关系：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

这个递推可以用矩阵表示为：

[ F(n)   ]   = [1 1] ^ (n-1)   [ F(1) ][ F(n-1) ]     [1 0]           [ F(0) ]

因此，只要能快速计算矩阵的幂，就能在 O(log n) 时间内求出 F(n)。这就是Python线性代数与快速幂结合的强大之处。

实现矩阵乘法

首先，我们需要一个函数来实现两个 2×2 矩阵的乘法：

def matrix_mult(A, B):    """计算两个 2x2 矩阵的乘积"""    return [        [A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0], A[0][0]*B[0][1] + A[0][1]*B[1][1]],        [A[1][0]*B[0][0] + A[1][1]*B[1][0], A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1]]    ]

实现矩阵快速幂

接下来，我们实现矩阵的快速幂函数。思路和数字快速幂一致，只是把乘法换成矩阵乘法，单位元换成单位矩阵：

def matrix_pow(matrix, n):    """计算 matrix 的 n 次幂（使用快速幂）"""    # 初始化结果为单位矩阵    result = [[1, 0], [0, 1]]    base = matrix    while n > 0:        if n % 2 == 1:            result = matrix_mult(result, base)        base = matrix_mult(base, base)        n //= 2    return result

完整示例：用矩阵快速幂求斐波那契数列

现在，我们将上述函数组合起来，快速计算斐波那契第 n 项：

def fib(n):    if n == 0:        return 0    if n == 1:        return 1    # 基础转移矩阵    base_matrix = [[1, 1], [1, 0]]    result_matrix = matrix_pow(base_matrix, n - 1)    # F(n) = result_matrix[0][0] * F(1) + result_matrix[0][1] * F(0)    return result_matrix[0][0]# 测试print(fib(10))  # 输出: 55

总结

通过本教程，你已经掌握了Python矩阵快速幂的基本原理与实现方法。这种技术不仅能用于斐波那契数列，还能扩展到任意线性递推关系，是提升算法效率的重要工具。

记住三个关键点：

• 将递推关系转化为矩阵形式
• 实现通用的矩阵乘法
• 套用快速幂模板，把乘法替换为矩阵乘法

希望这篇关于快速幂优化的教程对你有帮助！动手写一写代码，你会对矩阵快速幂算法有更深刻的理解。