C++平面图算法详解（从零开始掌握平面图判定与实现）

判断平面图的经典方法

判断一个图是否为平面图，常用的方法包括：

• Kuratowski 定理：一个图是平面图，当且仅当它不包含 K₅ 或 K₃,₃ 的细分图。
• Euler 公式：对于连通平面图，满足 |V| - |E| + |F| = 2（其中 F 是面数）。
• 线性时间算法：如 Hopcroft-Tarjan 算法，可在 O(n) 时间内判定平面性。

对于初学者，我们推荐先通过简单的必要条件（如边数限制）进行初步筛选，再结合 DFS 或并查集等基础工具辅助理解。

C++ 实现：基于边数限制的初步判定

根据 Euler 公式可推导出：若一个简单无向连通图 G 有 n ≥ 3 个顶点，则其边数 m 必须满足 m ≤ 3n - 6。否则，G 一定不是平面图。我们可以用这个条件做快速排除。

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;// 判断图是否可能为平面图（基于边数限制）bool isPossiblyPlanar(int n, int m) {    if (n < 3) return true; // 少于3个顶点一定是平面图    return m <= 3 * n - 6;}int main() {    int n, m;    cout << "请输入顶点数和边数: ";    cin >> n >> m;    if (isPossiblyPlanar(n, m)) {        cout << "该图可能是平面图（需进一步验证）。\n";    } else {        cout << "该图一定不是平面图！\n";    }    return 0;}

注意：这个方法只是必要条件，不是充分条件。也就是说，即使满足 m ≤ 3n−6，图仍可能不是平面图（比如 K₃,₃ 满足此条件但非平面）。因此，这只是第一步。

进阶：使用 DFS 检测 Kuratowski 子图（简化版思路）

完整实现 Hopcroft-Tarjan 算法较为复杂，但我们可以理解其核心思想：通过深度优先搜索（DFS）构建图的嵌入，并检测是否存在无法避免的边交叉。这需要维护“低点”（lowpoint）和“分割点”（cut vertex）等信息。

虽然完整代码较长，但掌握C++图论算法的基础（如邻接表、DFS、并查集）是迈向高级平面图处理的关键。

总结与建议

学习平面图判定是一个循序渐进的过程。建议你：

1. 先掌握图的基本表示（邻接矩阵/邻接表）；
2. 理解 Euler 公式和 Kuratowski 定理；
3. 尝试用 C++ 实现边数限制判定；
4. 深入研究 Hopcroft-Tarjan 算法（可参考《算法导论》或开源库如 Boost Graph Library）。

无论你是准备面试、参加竞赛，还是研究平面图数据结构在实际工程中的应用，扎实掌握这些基础都将为你打下坚实根基。

希望这篇教程能帮助你轻松入门 C++ 平面图算法！