掌握Java动态规划（从零开始的动态规划算法教程）

动态规划的基本步骤

1. 定义状态：明确 dp[i] 或 dp[i][j] 表示什么含义。
2. 找出状态转移方程：即如何由已知状态推导出新状态。
3. 初始化边界条件：确定初始值，比如 dp[0]、dp[1] 等。
4. 确定遍历顺序：是从前往后还是从后往前？是否需要二维遍历？
5. 返回结果：通常是 dp[n] 或 dp[m][n]。

经典案例：斐波那契数列

斐波那契数列是最简单的动态规划入门题。数列定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) （当 n ≥ 2）

如果用普通递归实现，时间复杂度是指数级的，因为存在大量重复计算。而使用动态规划，我们可以用 O(n) 时间和 O(1) 空间解决。

public class Fibonacci {    public static int fib(int n) {        if (n <= 1) {            return n;        }                // dp[i] 表示第 i 项斐波那契数        int[] dp = new int[n + 1];        dp[0] = 0;        dp[1] = 1;                for (int i = 2; i <= n; i++) {            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];        }                return dp[n];    }        // 空间优化版（只保留前两项）    public static int fibOptimized(int n) {        if (n <= 1) return n;                int prev2 = 0, prev1 = 1;        int current = 0;                for (int i = 2; i <= n; i++) {            current = prev1 + prev2;            prev2 = prev1;            prev1 = current;        }                return current;    }        public static void main(String[] args) {        System.out.println(fib(10));          // 输出 55        System.out.println(fibOptimized(10)); // 输出 55    }}

进阶案例：爬楼梯问题

假设你正在爬一个有 n 阶的楼梯。每次你可以爬 1 阶或 2 阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

这个问题和斐波那契数列几乎一模一样！因为到达第 n 阶的方法数 = 到达第 n-1 阶的方法数 + 到达第 n-2 阶的方法数。

public class ClimbStairs {    public static int climbStairs(int n) {        if (n <= 2) return n;                int[] dp = new int[n + 1];        dp[1] = 1;        dp[2] = 2;                for (int i = 3; i <= n; i++) {            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];        }                return dp[n];    }        public static void main(String[] args) {        System.out.println(climbStairs(5)); // 输出 8    }}

学习建议与总结

对于Java算法入门者来说，掌握动态规划的关键在于多练习、多总结。建议从简单题目入手，逐步过渡到背包问题、最长公共子序列、编辑距离等经典 DP 问题。

记住：动态规划不是“魔法”，而是一种结构化思考问题的方式。只要你能清晰地定义状态并写出状态转移方程，就成功了一大半！

希望这篇动态规划实例教程能帮你打开算法世界的大门。坚持练习，你一定能成为算法高手！