深入理解斯特林数（C++实现第二类斯特林数的完整教程）

第二类斯特林数的递推公式

第二类斯特林数通常记作 S(n, k) 或 {n \atop k}，满足以下递推关系：

S(n, k) = k × S(n−1, k) + S(n−1, k−1)

边界条件为：

• S(0, 0) = 1
• S(n, 0) = 0 （当 n > 0）
• S(0, k) = 0 （当 k > 0）
• S(n, k) = 0 （当 k > n）

C++ 实现第二类斯特林数

我们可以使用动态规划（DP）的方法来高效地计算 S(n, k)。下面是一个完整的 C++ 程序：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;// 计算第二类斯特林数 S(n, k)ll stirlingSecondKind(int n, int k) {    // 创建 DP 表    vector<vector<ll>> dp(n + 1, vector<ll>(k + 1, 0));        // 边界条件    dp[0][0] = 1;        for (int i = 1; i <= n; ++i) {        for (int j = 1; j <= min(i, k); ++j) {            dp[i][j] = j * dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];        }    }        return dp[n][k];}int main() {    int n, k;    cout << "请输入 n 和 k: ";    cin >> n >> k;        if (k > n || k < 0 || n < 0) {        cout << "无效输入！" << endl;        return 1;    }        ll result = stirlingSecondKind(n, k);    cout << "S(" << n << ", " << k << ") = " << result << endl;        return 0;}

代码解析

- 我们使用二维 vector dp[i][j] 存储 S(i, j) 的值。
- 初始化 dp[0][0] = 1。
- 双重循环填充 DP 表，严格遵循递推公式。
- 最终返回 dp[n][k] 即为所求结果。

时间与空间复杂度

- 时间复杂度：O(n × k)
- 空间复杂度：O(n × k)
如果你只需要单次查询，可以进一步优化空间至 O(k)，但为了清晰易懂，本教程采用标准二维 DP 方法。

应用场景

第二类斯特林数在以下场景中非常有用：

• 集合划分问题（如将学生分组）
• 贝尔数（Bell Number）的计算（贝尔数是所有 S(n, k) 的和）
• 概率论中的分布模型
• 算法竞赛中的组合计数题

总结

通过本教程，你已经掌握了斯特林数的基本概念、递推关系以及如何用C++算法高效实现第二类斯特林数。这是组合数学中的一个经典问题，理解它将为你解决更复杂的计数问题打下坚实基础。

动手试试吧！修改程序，让它输出整个斯特林三角形，或者加入取模运算以处理大数情况。