掌握动态规划：从零开始学Python动态规划算法（小白也能看懂的动态规划入门教程）

动态规划的基本步骤

要使用动态规划解决问题，通常可以遵循以下四个步骤：

1. 定义状态（State）：明确你要记录什么信息。
2. 找出状态转移方程（Recurrence Relation）：描述当前状态如何由之前的状态推导而来。
3. 确定初始条件（Base Case）：最简单的情况，通常是递归的终止条件。
4. 确定计算顺序：自底向上（迭代）或自顶向下（递归+记忆化）。

经典案例：斐波那契数列

斐波那契数列是最经典的动态规划入门例子。数列定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) （当 n ≥ 2）

如果我们用普通递归实现，会存在大量重复计算。而使用动态规划，我们可以高效求解。

方法一：自顶向下（记忆化递归）

def fib_memo(n, memo={}):    if n in memo:        return memo[n]    if n <= 1:        return n    memo[n] = fib_memo(n - 1, memo) + fib_memo(n - 2, memo)    return memo[n]# 测试print(fib_memo(10))  # 输出: 55

方法二：自底向上（迭代）

def fib_dp(n):    if n <= 1:        return n    dp = [0] * (n + 1)    dp[0], dp[1] = 0, 1    for i in range(2, n + 1):        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]    return dp[n]# 测试print(fib_dp(10))  # 输出: 55

这两种方法的时间复杂度都是 O(n)，远优于朴素递归的 O(2^n)。

另一个经典问题：爬楼梯

假设你正在爬一个有 n 阶的楼梯。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

这个问题和斐波那契数列本质相同！因为到达第 n 阶的方法数 = 到达第 n-1 阶的方法数 + 到达第 n-2 阶的方法数。

def climbStairs(n):    if n <= 2:        return n    a, b = 1, 2    for i in range(3, n + 1):        a, b = b, a + b    return b# 测试print(climbStairs(5))  # 输出: 8

总结

通过本教程，你应该对动态规划入门有了清晰的理解。记住，学习动态规划的关键在于多练习。尝试解决更多问题，如“最长公共子序列”、“背包问题”、“编辑距离”等，逐步提升你的算法思维。

无论你是初学者还是有一定经验的开发者，掌握Python动态规划都能让你在解决复杂问题时更加游刃有余。希望这篇教程能成为你学习动态规划算法道路上的坚实第一步！

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