谷歌DeepMind发现流体方程不稳定奇点，机器学习助力攻克千禧年难题

谷歌DeepMind与纽约大学、斯坦福大学、布朗大学等多所高校的研究人员合作，基于机器学习框架和高精度的高斯-牛顿优化器，首次在三个不同的流体方程中系统性地发现了新的不稳定奇点，并推导出一条简洁的经验渐近公式，将爆破速率与不稳定阶数联系起来。

早在今年5月底，数学家Javier Gómez Serrano在一次采访中透露，正与谷歌DeepMind携手，“致力于尽快破解人类已知最棘手的数学难题之一——纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）”。该方程是克雷数学研究所设立的七项千禧年大奖（Millennium Prize Problems）难题之一，成功解题者可获得100万美元奖金。

据悉，Javier Gómez Serrano等人发起的这项名为“纳维-斯托克斯行动”的计划已持续三年，由20人团队执行，始终保持高度保密。谷歌DeepMind负责人Demis Hassabis今年1月接受采访时也曾表示，“即将解决一项千禧年大奖难题”，但未具体说明是哪一项，“预计在明年或一年半内就能见分晓”。

如今，这项神秘行动的面纱正逐渐被揭开。

谷歌DeepMind联合纽约大学、斯坦福大学、布朗大学等机构的研究人员，利用机器学习框架和高精度的高斯-牛顿优化器（Gauss-Newton optimizer），在三个流体方程中首次系统性地发现了新的不稳定奇点，并揭示出一条简洁的经验渐近公式，将爆破速率与不稳定阶数关联起来。

实验结果显示，该方法在所有发现的解上都实现了远超以往工作的精度。对于特定的CCF解，结果甚至接近双精度浮点的机器极限，仅受限于GPU硬件的舍入误差，这为探索非线性偏微分方程（PDE）的复杂图景提供了全新研究范式，并为攻克数学物理中的长期难题开辟了新路径。

相关研究以“Discovery of Unstable Singularities”为题，已在arXiv发表预印本。

论文地址：https://go.hyper.ai/iGh6t

发现与分析两阶段结构，精准定位不稳定奇点

回顾人类探索自然规律的历程，流体力学始终是最复杂、最具挑战性的领域之一。几个世纪以来，从飓风旋涡到飞机机翼的升力，数学家们依靠复杂方程来刻画其中的物理规律。但流体中是否会形成奇点（singularities）或爆破（blow ups），至今仍是数学领域最基础且未解的难题。这一现象指的是，当控制方程（如三维欧拉方程）的解从光滑初始条件出发时，可能演化出无限梯度。

传统数值方法主要识别稳定奇点，这是一种稳健结果，即使初始条件有轻微扰动也能形成。与之对应，不稳定奇点则极其难以捕捉，它们要求初始条件必须调节到无限精确，因为在这种高度不稳定状态下，微小扰动也会立即使解偏离爆破轨迹。然而，对于一些关键未解问题——如无边界条件的欧拉方程（boundary-free Euler）与纳维–斯托克斯方程（Navier-Stokes cases）——数学界普遍推测，不稳定奇点可能扮演至关重要的角色。

针对这一百年悬而未决的难题，研究人员通过解的发现与解的分析这两个阶段，实现了高精度不稳定奇点的发现。

首先，研究人员通过候选解搜索具有自相似缩放率λ的爆破解及其自相似空间分布，如下图（i）中所示的Burgers方程。随后，通过迭代方法不断优化机器学习流程与解的精度（下图ii所示）。候选解的实证结果及其精度指导数学建模与神经网络架构设计，而数学建模又反过来引导网络架构中的归纳偏置（Inductive Biases），例如输入坐标变换与输出场的形态设计。

在这个过程中，研究人员采用物理信息神经网络（PINN），结合高斯-牛顿优化器（Gauss-Newton optimizer）与多阶段训练（Multi-stage training）策略，在寻找正确缩放率λ的同时生成高精度候选解。

高精度自相似解的发现

其次，在解的分析过程中，针对CCF、IPM和Boussinesq方程发现的每一个不稳定解，研究人员通过在其周围对偏微分方程进行线性化来分析其稳定性。对于发现的第n个不稳定解，研究人员找到了n个与该解具有相同对称性假设的不稳定模态。

这些不稳定模态指明了通过推动解使其趋于更稳定的方向，这表明目前发现的解族在所考虑的容许λ值范围内是完备的。由此，研究人员不仅能够刻画稳定性程度，同时还发现了高精度的稳定与不稳定奇点。

高精度解的分析

“数学见解 + 神经网络”让PINN成为新利器

在这项研究中，物理信息神经网络被赋予了新能量，超越了其作为求解偏微分方程通用工具的典型角色。研究团队将解表示为由神经网络参数化的平滑函数，使数学见解能够直接嵌入神经网络架构中，引导优化过程朝着数学相关的解方向发展。

研究团队通过架构设计来强制执行由控制方程导出的约束，例如对称性、周期性、无限域的处理等，这为学习提供了强大的标准训练参数。通过数值实验与数学分析的反馈循环迭代优化网络架构，显式因式化该行为并重写剩余方程，优化稳定性显著提升。

解的准确性

经过改进的高精度训练

为了满足不稳定奇点所需的极高精度，研究人员对训练流程进行了关键两点改进，引入了“高斯-牛顿优化器”和“多阶段训练”来进行高精度训练。

采用该优化器，是由于目前常见的标准梯度优化器（如Adam或L-BFGS）不足以产生方程的高质量解，因此研究团队选择了更强的Gauss–Newton优化方法来优化神经网络，由于本次网络规模较小，这种原本不可行方案得以奏效。实验结果表明，Gauss–Newton可以在大约50,000次迭代内将残差降到10⁻⁸，对比标准梯度优化器表现出更佳性能和显著更快的收敛速度。

简而言之，多阶段训练的思路是：先训练一个网络得到近似解，再训练第二个网络专门修正前一个网络未处理好的误差。两个网络输出合并，就能把解推到更高精度。在CCF和IPM方程的稳定解及一阶不稳定解实验中，多阶段训练方法能够将最大残差提高5个数量级，该精度足以满足基于CAP的严格数学验证。

高精度训练实验结果

上述方法使模型能够将准确率提升到新水平，研究团队以三维可视化与二维涡量场的分析作为参考示例，展示流体在每个点的旋转程度的度量，其解决的最大误差相当于将地球直径的预测精度提高到几厘米以内。

对所研究的方程之一的三维表示和二维涡度 (Ω) 场进行可视化

论文一作为华人博士

论文一作Yongji Wang，目前是纽约大学库朗数学科学研究所的博士后，同时也是斯坦福大学的访问博士后。其研究方向包括连续介质力学、地球物理学以及科学机器学习，在运用理论和数值技术阐明自然及环境中的复杂物理过程方面，拥有丰富经验。

研究重心是针对各类科学问题开发高精度深度学习技术，其研究范围广泛，从揭示南极冰架隐藏的物理特性，到寻找非线性偏微分方程（PDE）的自相似爆破解。

参考资料：

1.https://deepmind.google/discover/blog/discovering-new-solutions-to-century-old-problems-in-fluid-dynamics/

2.https://english.elpais.com/science-tech/2025-06-24/spanish-mathematician-javier-gomez-serrano-and-google-deepmind-team-up-to-solve-the-navier-stokes-million-dollar-problem.html

3.https://mp.weixin.qq.com/s/CRlGLmji4BWNkNaA7e2JEw