DeepMind携手顶尖学府，破解流体动力学世纪难题

谷歌DeepMind携手纽约大学、斯坦福大学及布朗大学等学术机构，借助先进的机器学习框架与高精度高斯-牛顿优化器，在三大流体方程中首次系统性地揭示了新型不稳定奇点，并成功推导出简洁的渐近公式，将爆破速率与不稳定阶数紧密相连。

早在今年5月底，数学家Javier Gómez Serrano在一次访谈中透露，他正与谷歌DeepMind合作，致力于揭开人类面临的最棘手谜题之一——纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）的神秘面纱。该方程被誉为克雷数学研究所设立的七项千禧年大奖（Millennium Prize Problems）难题之一，其解决者将荣获100万美元奖金。

据透露，由Javier Gómez Serrano发起的“纳维-斯托克斯行动”已持续三年，由20人组成的精英团队执行，且项目全程保持高度保密。尽管如此，DeepMind负责人Demis Hassabis在今年1月的采访中透露，他们即将解决一项千禧年大奖难题，但具体细节尚未公开，预计明年或一年半内将揭晓成果。

如今，这一神秘行动正逐步揭开其面纱。

谷歌DeepMind联合上述学术机构的研究团队，依托机器学习框架及高精度高斯-牛顿优化器（Gauss-Newton optimizer），在三大流体方程中首次系统性地发现了新的不稳定奇点，并推导出简洁的渐近公式，成功将爆破速率与不稳定阶数联系起来。

实验结果表明，该方法在所有发现的解上均实现了显著超越现有工作的精度。对于特定的CCF解，其精度甚至逼近双精度浮点数的机器极限，仅受GPU硬件舍入误差的限制。这不仅为探索非线性偏微分方程（PDE）的复杂图景提供了全新研究范式，更为攻克数学物理领域的长期难题开辟了新路径。

相关研究以“Discovery of Unstable Singularities”为题，已在arXiv平台发布预印本。

论文链接：https://go.hyper.ai/iGh6t

两阶段策略：发现与分析不稳定奇点

回顾人类探索自然规律的历程，流体力学始终是最复杂、最具挑战性的领域之一。几个世纪以来，从飓风旋涡到飞机机翼的升力，数学家们依赖复杂的方程来描绘其中的物理规律。然而，流体中是否会形成奇点（singularities）或爆破（blow ups），至今仍属数学领域的基础未解之谜。这一现象指的是，当控制方程（如三维欧拉方程）的解从光滑的初始条件出发时，可能演化出无限梯度。

传统的数值方法主要聚焦于稳定奇点的识别，这是一种即便初始条件有轻微扰动也能形成的结果。相比之下，不稳定奇点则极为难以捕捉，因为它们要求初始条件必须被调节至无限精确的程度。在这种高度不稳定的状态下，哪怕是微小扰动也会立即使解偏离爆破轨迹。然而，对于某些关键未解问题——如无边界条件的欧拉方程（boundary-free Euler）与纳维–斯托克斯方程（Navier-Stokes cases）——数学界普遍认为，不稳定奇点可能扮演着至关重要的角色。

针对这一百年来悬而未决的难题，研究人员通过解的发现与解的分析这两个阶段，实现了对高精度不稳定奇点的发现。

首先，研究人员通过候选解来搜索具有自相似缩放率λ的爆破解及其自相似空间分布，如图（i）所示的Burgers方程。随后，通过迭代方法不断优化机器学习流程与解的精度（图ii所示）。候选解的实证结果及其精度指导数学建模与神经网络架构设计，而数学建模又反过来引导网络架构中的归纳偏置（Inductive Biases），例如输入坐标变换与输出场的形态设计。

在此过程中，研究人员采用物理信息神经网络（PINN），结合高斯-牛顿优化器（Gauss-Newton optimizer）与多阶段训练（Multi-stage training）策略，在寻找正确缩放率λ的同时生成高精度候选解。

高精度自相似解的发现

其次，在解的分析过程中，针对CCF、IPM和Boussinesq方程发现的每一个不稳定解，研究人员通过在其周围对偏微分方程进行线性化来分析其稳定性。对于发现的第n个不稳定解，研究人员找到了n个与该解具有相同对称性假设的不稳定模态。

这些不稳定模态指明了通过推动解使其趋于更稳定的方向，这表明目前发现的解族在所考虑的容许λ值范围内是完备的。由此，研究人员不仅能够刻画稳定性的程度，还发现了高精度的稳定与不稳定奇点。

高精度解的分析

“数学智慧 + 神经网络”打造PINN新利器

在这项研究中，物理信息神经网络被赋予了新的力量，超越了其作为求解偏微分方程通用工具的典型角色。研究团队将解表示为由神经网络参数化的平滑函数，使数学智慧能够直接融入神经网络架构中，引导优化过程朝着数学相关的解方向发展。

研究团队通过架构设计来强制执行由控制方程导出的约束条件，例如对称性、周期性、无限域的处理等，为学习提供了一个强大的标准训练参数。通过数值实验与数学分析的反馈循环迭代优化网络架构，显式因式化该行为并重写剩余方程，优化稳定性显著提升。

解的准确性

经过改进的高精度训练

为了满足不稳定奇点所需的极高精度要求，研究人员对训练流程进行了两项关键改进：引入了“高斯-牛顿优化器”和“多阶段训练”来进行高精度训练。

选择该优化器的原因是当前常见的标准梯度优化器（如Adam或L-BFGS）无法产生方程的高质量解。因此，研究团队采用了更强大的Gauss–Newton优化方法来优化神经网络。由于本次网络规模较小，这一原本不可行的方案取得了成功。实验结果显示，Gauss–Newton可在约50,000次迭代内将残差降至10⁻⁸。相较于标准梯度优化器表现出更佳的性能和显著更快的收敛速度。

简而言之，多阶段训练的思路是：先训练一个网络得到近似解，再训练第二个网络专门修正前一个网络未处理好的误差。两个网络的输出合并后，可将解提升至更高精度。在CCF和IPM方程的稳定解及一阶不稳定解实验中，多阶段训练方法能将最大残差提高5个数量级。该精度足以满足基于CAP的严格数学验证。

高精度训练实验结果

上述方法使模型能够将准确率提升至前所未有的水平。研究团队以三维可视化与二维涡量场分析作为参考示例，展示了流体在每个点的旋转程度度量。其解决的最大误差相当于将地球直径的预测精度提高到几厘米以内。