AI与数学：突破与界限

十年前，数学家陶哲轩还在黑板前，与学生们共同推导几何公式。十年后，他选择将同样的问题交给一台名为GPT-5 Pro的AI。他好奇：AI究竟是更快的计算工具，还是正在迈向真正的理解？

几分钟后，屏幕上显现出Minkowski公式、Willmore不等式、体积积分等，AI把整个推理过程转化为了一篇完美的论文草稿。然而，陶哲轩既感到震撼，又略感心凉：问题依旧无解，只是被更华丽地装饰了。

就在那一周，另一场数字化的“数学登山”也在进行。GPT-5 Pro在全球最难的测试集FrontierMath上拿下了13%的最高分。虽然分数耀眼，但直觉却未跟上。它像一个擅长计算的神童，但在真正的研究面前，还是停下了笔。

于是问题不再是“AI能否解题”，而是：它到底理解了多少世界？

陶哲轩的实测：AI在科研中的“三层表现”

十年前，陶哲轩还在黑板前与学生推演几何。作为被誉为“天才中的天才”的数学家，他21岁便成为最年轻的菲尔兹奖得主。十年后，他决定亲自验证这台“拿下13%纪录”的AI究竟能做什么。

他没有选择标准题库，而是将其带入真正的科研现场——那里没有标准答案，只有开放问题。

「我想看看AI能否在我不擅长的领域提出新思路。」于是，他在MathOverflow上贴出了这道问题：

若一个光滑嵌入在R³中的球面，其主曲率都不超过1，它所包围的体积是否至少和单位球一样大？——这并非我擅长的领域（微分几何），但我想看看AI能否给出新思路。

这是一个微分几何难题。二维情况已有定理（Pestov–Ionin theorem）支撑，但三维版本至今悬而未解。这道难题三年前曾被提出，至今无人能解。

陶哲轩不是在考AI，而是将其推向了没有标准答案的科研地带。

在与ChatGPT持续互动约40分钟后，他总结道：AI在微观、宏观层面有帮助，但在中观层面有限。

让我们看看，陶哲轩如何用AI再次完成解题。

AI是计算型助手

他先让GPT-5 Pro处理最简单的「星形（star-shaped）」情形。几分钟内，AI生成了推理链条，自动调用三条经典结论：

Minkowski积分公式：|Σ| = ∫Σ H s dA；

Willmore不等式：∫Σ H² dA ≥ 4π；

体积公式：vol(V) = ⅓ ∫Σ s dA。

然后将其整合成一句话：

若|κ₁|, |κ₂| ≤ 1，则vol(V) ≥ (4π/3)，即单位球体积。

AI不仅计算正确，还主动引用他未提及的Minkowski第一积分公式，甚至补上了两种证明路线。

陶哲轩在后续贴文写道：

它能在我给出的线索下完成所有推导，这部分几乎无可挑剔。

这一阶段，AI像一台完美的「数学引擎」——能推、能证、能举例，但它只在局部任务上发光。

从助手到镜面

他又进一步试探它：如果把曲面变形、稍微远离完美的球形，它还能保持推理稳定吗？

AI很快给出答案——准确、漂亮，但方向错了。

陶哲轩在日志里写下：

它开始顺从，而不再质疑。

这正是科研型AI的「镜像陷阱」：当方向错了，它会粉饰错误，甚至让错误更「漂亮」。

虽然没解出问题，这次实验仍让陶哲轩获得了新的洞察。

他意识到真正的障碍并非「近似圆球」，而是那些极细长、非凸、如同袜状的曲面结构——它们能无限拉长几何尺度，却几乎不增加体积。

陶哲轩后来总结：

AI确实让我更快地理解了问题——不是因为它解出来，而是因为我看清了它为什么解不出来。