深入理解双连通分量（C语言实现图论中的割点与桥检测）

为什么需要双连通分量？

在实际应用中，比如通信网络、电力系统或社交网络，我们希望系统具有高可靠性。如果某个节点（如路由器）是割点，一旦它失效，整个网络可能被分割成多个孤立部分。通过识别割点和桥，我们可以提前加固关键节点，提升系统鲁棒性。

算法原理：Tarjan 算法

我们使用经典的 Tarjan 算法 来寻找割点和桥。该算法基于深度优先搜索（DFS），并利用两个关键数组：

• dfn[u]：表示节点 u 被访问的时间戳（DFS 序）。
• low[u]：表示从 u 出发，通过其子树中的边能回溯到的最早访问的节点的时间戳。

判断规则如下：

• 割点判断：
  • 若 u 是 DFS 树的根，且有至少两个子树，则 u 是割点。
  • 若 u 不是根，且存在子节点 v，使得 low[v] >= dfn[u]，则 u 是割点。
• 桥判断：对于边 (u, v)（u 是 v 的父节点），若 low[v] > dfn[u]，则该边是桥。

C语言实现

下面是一个完整的 C 语言程序，用于找出无向图中的所有割点和桥。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define MAXN 1000// 邻接表结构struct Edge {    int to;    struct Edge* next;};struct Edge* head[MAXN];int dfn[MAXN], low[MAXN];int visited[MAXN];int timestamp;int isCut[MAXN]; // 是否为割点void addEdge(int u, int v) {    struct Edge* e = (struct Edge*)malloc(sizeof(struct Edge));    e->to = v;    e->next = head[u];    head[u] = e;}void tarjan(int u, int parent) {    dfn[u] = low[u] = ++timestamp;    visited[u] = 1;    int children = 0;    struct Edge* e;    for (e = head[u]; e != NULL; e = e->next) {        int v = e->to;        if (v == parent) continue;        if (!visited[v]) {            children++;            tarjan(v, u);            low[u] = (low[u] < low[v]) ? low[u] : low[v];            // 判断割点            if (parent != -1 && low[v] >= dfn[u]) {                isCut[u] = 1;            }            // 判断桥            if (low[v] > dfn[u]) {                printf("桥: %d - %d\n", u, v);            }        } else {            low[u] = (low[u] < dfn[v]) ? low[u] : dfn[v];        }    }    // 根节点特殊处理    if (parent == -1 && children >= 2) {        isCut[u] = 1;    }}int main() {    int n, m;    printf("请输入顶点数和边数: ");    scanf("%d %d", &n, &m);    // 初始化    memset(head, 0, sizeof(head));    memset(dfn, 0, sizeof(dfn));    memset(low, 0, sizeof(low));    memset(visited, 0, sizeof(visited));    memset(isCut, 0, sizeof(isCut));    timestamp = 0;    printf("请输入 %d 条边（每行两个顶点，从0开始编号）:\n", m);    for (int i = 0; i < m; i++) {        int u, v;        scanf("%d %d", &u, &v);        addEdge(u, v);        addEdge(v, u); // 无向图，双向添加    }    // 从0号节点开始DFS（假设图连通）    tarjan(0, -1);    printf("\n割点有: ");    for (int i = 0; i < n; i++) {        if (isCut[i]) {            printf("%d ", i);        }    }    printf("\n");    return 0;}

如何运行这个程序？

1. 将上述代码保存为 biconnected.c。
2. 使用 GCC 编译：gcc biconnected.c -o biconnected
3. 运行程序并按提示输入图的信息。

例如，输入以下数据：

5 50 11 22 01 33 4

程序会输出：

桥: 1 - 3桥: 3 - 4割点有: 1 3

总结

通过本教程，你已经掌握了双连通分量的基本概念、Tarjan 算法的核心思想，并用C语言实现了割点与桥的检测。这些知识在解决网络可靠性、电路设计、社交网络分析等问题中非常有用。记住，理解 dfn 和 low 的含义是掌握该算法的关键！

希望这篇教程对你有帮助！如果你正在学习图论算法，不妨动手实现一下，加深理解。