陶哲轩与GPT-5 Pro联手攻克微分几何开放难题

数学天才陶哲轩与先进AI模型GPT-5 Pro强强联合，在微分几何领域取得惊人突破，成功解决了一个悬置三年之久的开放问题。

这一成就尤为引人注目，因为该问题“超出陶哲轩的常规研究范围”：它属于微分几何范畴，涉及流形与曲率的复杂性质。

陶哲轩的专长集中于分析、数论和组合学等领域，主要研究整数、函数和算子特性。而微分几何则聚焦于曲面和空间结构的性质，所用工具和方法大相径庭。

陶哲轩仅凭直觉提供了一个大致方向，GPT-5 Pro便从繁琐计算到严谨证明全程协助，帮助他捕捉关键逻辑，突破传统思维限制。

更有趣的是，在AI的辅助下，陶哲轩最终发现自己的初始直觉存在偏差，但通过这一过程更深刻地理解了问题本质。

这次跨界解题经历让陶哲轩对AI在学术研究中的角色有了新认识，他总结道：

AI在微观层面非常有效，在中观层面可能作用有限，但在宏观层面又具辅助价值。

AI从计算到证明全程助力

问题的起源可追溯到三年前在mathoverflow上提出的一个开放问题：

考虑三维空间中一个光滑拓扑球面围成的区域，若曲面的主曲率绝对值不超过1，那么该区域所包围的体积是否至少等于单位球的体积？

陶哲轩最初思路是将问题限制在星形区域上，并借助积分不等式推进。但由于微分几何知识生疏，他请AI协助进行复杂计算。

GPT-5 Pro经过11分18秒的深入思考，不仅完成了所有计算，还直接给出了星形情况下的完整证明。

证明过程运用了多种不等式和恒等式，包括Stokes定理和Willmore不等式等陶哲轩熟悉的工具，以及他首次接触的Minkowski第一积分公式。

结合这些不等式和算术-几何平均不等式，星形情况的证明最终简化为一行论证。

至此，进展一切顺利。

接下来，陶哲轩需要验证证明的各个步骤，但网络资源有限。再次询问AI后，他获得了两个满意的证明：一个基于他建议的散度定理路线，另一个则采用他未曾想到的流方法。

通过AI的计算和证明，陶哲轩尝试将问题视为扰动椭圆偏微分方程问题，AI在这一思路上也表现良好。

尽管在估计扰动非线性项时出现了轻微错误，但问题可修复。AI还主动指出，一种特殊情况可回归到星形结果。

通过偏微分方程扰动理论，成功解决了曲面形状与单位球面接近时的情形。

然而，真正的挑战在于曲面形状与球面差异巨大时的问题。

陶哲轩意识到可将问题简化为大型有限计算，但AI基于此方法给出的结果混乱且缺乏启发性，本质上是对所有可能形状的穷举。

最终，陶哲轩发现他设想的数值方法或许能解决特定特殊情况，但无法处理一般情况，而AI仅机械执行了指令。

总而言之，虽然问题未完全解决，但在AI的辅助下，陶哲轩对问题的理解更加深入。

陶哲轩的反思：AI工具的多尺度价值

解题过程结束后，陶哲轩进行了深入思考。

回顾全程，AI在“小尺度”问题上表现优异，仅犯小错误，并贡献了一些陶哲轩未知但文献中已有的有用想法。

但要进一步推进问题，仍需真正的微分几何专家介入。

在“中等尺度”策略上，AI略显无益，它强化了陶哲轩的错误直觉而非提出质疑。

陶哲轩的初始直觉有误，AI未能发现问题，基本只是附和其观点。

但从“大尺度”理解问题的角度来看，AI仍有帮助，尽管是间接的：它使陶哲轩能更快探索并最终放弃一种不适用方法。

陶哲轩将此次经历与先前实验对比。

在以往实验中，他交给AI一项自己直觉较强的任务。彼时AI更具创造力，提供未知信息，但引导AI朝高效方向前进也更困难。

他认为，在专业领域外与AI互动确有价值，但需保持谨慎和清醒认知。

此经历也印证陶哲轩先前观点：必须在多尺度评估工具效能。

他曾提出四个效率尺度：形式化证明中的单行、单条引理、完整定理证明及整本教科书。

当前自动化工具或可在某一尺度加速形式化，但过度依赖可能削弱其他尺度的形式化能力。

他认为最优自动化水平严格介于0%与100%之间。

每个尺度需足够自动化以减少繁琐重复，但也要保留足够“人在回路中”以审查修复局部问题，使人类保持对所有尺度任务结构的感知。

若过度在单一尺度基准测试AI，可能对长期目标产生不利影响。

陶哲轩与ChatGPT的合作历程

陶哲轩对AI辅助数学研究的探索可追溯到三年前——ChatGPT刚问世时。

他敏锐察觉其潜力，并就黎曼假设试探询问，结果令人失望：

ChatGPT的回答看似合理相关，但细究后缺乏实质深度。

当时的ChatGPT尚不能完全理解数学问题本质，仅是对低质内容进行包装掩盖，这意味着需人工筛查核心内容，如逐行阅读文本。

早期陶哲轩对AI工具持怀疑态度，认为其在数学中作用是为答案提供近似值，再由人类数学家逐步细化。

转机出现在GPT-4，陶哲轩尝试用它处理统计数据，如将原始数据输入电子表格并查找函数进行计算。

短短几分钟，GPT-4完成人类一天工作量，仅需少量校验。这让他期待将AI集成到软件工具中，尤其是处理LaTeX编译问题。

我可以明确地说，今天是GPT4为我节省大量繁琐工作的第一天。

随后，他用GPT-4处理熟悉领域的数学问题，如证明递归式能推导出a(n+1)。

GPT-4从合作者角度提出八种方法，其中生成函数法引起陶哲轩兴趣，他沿此路径人工计算最终解决问题。而最初他想用渐近分析方法，AI却更快协助找到正确方案。

同时，他让ChatGPT编写Python计算序列长度，结果虽与目标序列有差异，但已足够接近，且在计算totient函数时采用了独特方案。

但代码有时不够简洁高效或逻辑严密，仍需人工校正与重写。

他还尝试用Copilot书写数学论文，但在撰写证明大纲时，AI陷入长篇叙述随机分析数论的废话，仅在编写短或重复文本时有效。

因此，当时AI写数学论文有趣多于实用。

GPT-o1发布后，陶哲轩第一时间测试其数学能力。相比前代，GPT-o1幻觉问题改善，在形式化任务中作用显著，但在复杂分析问题上仍令人失望，未能产生关键概念思想。

陶哲轩将这一代定义为平庸但非无能的数学“研究生”，而此前模型更接近无能“研究生”水平。他相信再迭代一两次并结合其他工具，AI将在研究级任务中大放异彩。

今年七月，OpenAI在IMO夺金引发热议，陶哲轩长文回应，认为缺乏统一评测标准。

同时，他开始用ChatGPT处理更复杂数学问题，如在判断集合是否为HA子集时，陶哲轩理论分析已确定答案是否定的，但仍需数值参数验证不等式。

起初直接要求AI提供Python代码反例，但因参数问题失败。随后他调整策略，与AI逐步对话，使其执行启发式计算并找到可行参数，经单独验证后最终解决问题。

陶哲轩总结，在数值搜索类任务上，AI工具可大幅节省时间。若无AI，他可能不会考虑此法，转而寻求理论渐进分析。

为减少AI在数学问题中的幻觉或废话，陶哲轩总结出一套心得：在计算任务每一步详细解释，每次对话先确认再执行下一步，对话结束后用Python外部验证输出。

正如他一直强调，AI正在重塑人类科学范式，其最合理角色是成为数学家的“副驾驶”或助理，而非取代人类在创造性、直觉性和策略性上的工作。

在AI协助下，数学未来将拥有更多实验，而不仅仅是理论。

原文地址：

https://mathstodon.xyz/@tao/115351400633010670

参考链接：

[1]https://chatgpt.com/share/68e85cba-7228-800e-8804-a0f41aa64e14

[2]https://mathoverflow.net/questions/425509/sphere-with-bounded-curvature

[3]https://terrytao.wordpress.com/mastodon-posts/