陶哲轩与GPT-5携手破解难题，AI助力数学新突破

陶哲轩与GPT-5 Pro的这次合作再次震惊了学术界，他们共同解决了一个困扰数学家长达3年的难题。

这个难题并不在陶哲轩的专业领域——微分几何，而是这个领域的一个开放性问题。

要知道，陶哲轩擅长的分析、数论、组合学等研究的是整数、函数、算子的性质。而微分几何则更侧重于流形的性质，使用的工具也截然不同。

陶哲轩只是给出了一个大致的方向，GPT-5 Pro便从复杂的计算到严谨的证明一气呵成，帮助陶哲轩捕捉关键逻辑，突破了传统思维的局限。

甚至在AI的帮助下，陶哲轩最终发现自己的直觉有误，但这个过程让他更好地理解了问题。

这次跨界解题的经验让陶哲轩对AI在学术研究上的作用有了新的思考，他总结道：

AI在小尺度上很有用，中尺度上有些无益，大尺度上又有帮助。

AI的计算与证明能力

原始问题是在3年前由mathoverflow提出的：

设一个三维空间中的光滑拓扑球面围成的区域，且曲面的主曲率绝对值不超过1，那么它包围的体积是否至少等于单位球的体积？

陶哲轩最初的思路是将问题限制在星形区域上，借助积分不等式推进。但由于他的微分几何有些生疏，所以请AI帮他进行这些计算。

结果GPT-5 Pro思考了11分18秒，不仅完成了所有计算，还直接给出了星形情况下问题的完整证明。

证明过程运用了各种不等式和恒等式，其中有些陶哲轩熟悉（比如Stokes定理和Willmore不等式），也有一个他第一次接触的Minkowski第一积分公式。

有了这些不等式，加上算术-几何平均不等式，星形情况的证明实际上就是一行论证。

到目前为止，一切顺利。但接下来他需要验证证明的各个步骤，但网络上没有找到有用的资源。

再次询问AI后，直接得到两个令他满意的证明：一个是按照他建议使用散度定理的路线，另一个是基于他没想到的流方法。

通过AI的计算和证明，陶哲轩打算将其视为一个扰动椭圆偏微分方程问题，AI在这个思路上也表现良好。

虽然在估计一个扰动非线性项时出现了轻微的错误，但并非无法修复。而且AI还主动指出一个特殊情况其实又能回到星形的结果。

成功地用偏微分方程扰动理论的方法，解决了当曲面形状与单位球面差距不大（Small Data）时的情形。

但真正困难且未解决的，是当曲面形状与球面差距巨大（Large Data）时的问题。

陶哲轩的思考：AI工具的多尺度价值

虽然解题告一段落，但陶哲轩的思考还在继续。

回顾整个解题过程，AI在“小尺度”问题上表现得很好，只犯了一些小错误，并贡献了一些文献中已有的、但陶哲轩之前并不知道的有用想法。

但是要想进一步推进这个问题，就需要真正的微分几何专家的帮助了。