AI破解数学难题：埃尔德什猜想的新篇章

人工智能（AI）在破解数学难题方面再次取得了突破性进展。这次，OpenAI的最新模型GPT-5.2 Pro独立证明了一道备受关注的埃尔德什猜想。

这一论证过程经过了菲尔兹奖得主陶哲轩的严格验证，并被誉为“迄今为止最明确的第一类结果（AI主要贡献）”。

这道编号为第281号的题目由传奇数学家保罗·埃尔德什与罗纳德·格雷厄姆于1980年共同提出，涉及同余覆盖系统与自然密度的复杂关系。在长达45年的时间里，它一直静静地躺在问题库里，等待着解答者的出现。

直到2025年1月17日，一位名叫Neel Somani的研究者将这道题交给了GPT-5.2 Pro。而这次，AI真的给出了答案。

纯粹依靠GPT 5.2 Pro的证明

埃尔德什问题网站已经收录了AI的这一证明结果。整个论证过程在无穷阿德尔整数环上展开，借助哈尔测度和点态遍历定理，结合紧致性论证完成了从逐点收敛到一致收敛的跃迁。

陶哲轩表示，这是“Furstenberg对应原理”的一个变体，是遍历理论与组合数学交叉领域的标准工具。然而，GPT-5.2 Pro的用法又与通常的论证有所不同，它更依赖伯克霍夫定理。

真正让陶哲轩印象深刻的是AI没有犯错。他说道：“让我更惊讶的是它避免了错误，比如极限交换或量词顺序的失误，这正是这道题最容易出错的地方。前几代大语言模型几乎肯定会在这些微妙之处栽跟头。”

为了验证这份证明，陶哲轩亲自动手，把整套遍历论论证翻译成了组合学语言，用哈代-利特尔伍德极大不等式替代伯克霍夫定理，重新走了一遍全部推导。结论：证明成立。

意外的发现

正当大家讨论GPT-5.2 Pro的证明时，一位网名KoishiChan的用户在评论区抛出了一个令人意外的发现：这道题其实有更简单的解法，而且所需的两个定理早在1936年和1966年就已经存在了。

这两个定理分别是达文波特与埃尔德什在1936年合作证明的密度收敛定理，以及罗杰斯定理（首次发表于1966年的哈尔伯斯塔姆-罗斯专著《序列》第五章）。把这两个经典结果拼在一起，第281号问题几乎是直接推论。

陶哲轩就此事专门写邮件请教了法国数学家特南鲍姆。特南鲍姆确认“只要满足你提到的两个经典结果（达文波特-埃尔多斯定理和罗杰斯定理），问题就能立即得到解决”，但他也猜测“问题的表述可能在某个环节被改动过”。不过目前没有人找到任何其他版本的表述，所以只能按原样处理。

更有意思的是，这场讨论还揭示了罗杰斯定理没有得到应有的传播。它只出现在哈尔伯斯塔姆-罗斯那本书里，没有单独发表，文献引用寥寥无几。或许这场讨论能让更多研究筛法和同余覆盖的人注意到这个结果。

最终现在这道题有了两份证明：一份来自GPT-5.2 Pro的遍历论路径，一份来自KoishiChan挖出的经典文献组合。陶哲轩确认两者是“不同的证明”，虽然在概念上有些重叠。

如何评估AI数学的真实成功率

消息传开后，各路AI模型纷纷被拉来交叉验证。Gemini 3 Pro表示证明没有问题。另一位研究者用GPT-5.2 Pro反复检查论证细节，认为唯一需要补充严格性的地方在第二步，可以用法图引理绕过遍历论直接完成。

不过陶哲轩指出这里法图引理的方向用反了：“我刚教完研究生测度论，这类错误见得太多了。”随后又确认其实是对补集应用法图引理，方向没问题，论证成立。

陶哲轩同时发出了冷静的提醒：评估AI工具真实成功率时，最大的统计偏差来自强烈的报告偏差，负面结果几乎不会被披露。如果某人或某AI公司把工具用在开放问题上但没有进展，他们没有动力报告这个负面结论；即使报告了，也不太可能像正面结果那样在社交媒体上传播开来。

尽管绝大多数集中在难度谱系的简单一端，远不能说明中等难度的埃尔德什问题已经进入AI的射程范围。他推荐了Paata Ivanisvili和Mehmet Mars Seven发起的一个开源项目，系统记录前沿大语言模型在埃尔德什问题上的正面和负面结果。

数据显示，这些工具在埃尔德什问题上的真实成功率大约只有百分之一到二。但考虑到问题库里有超过600道未解难题，这个比例仍然意味着一批数量可观且非平凡的AI贡献。